Distribución adimensional de la temperatura en tubos durante la conducción transitoria bajo condiciones convectivas

Dimensionless distribution of temperature on pipes during transient conduction under convective conditions

Yanan Camaraza-Medina^1*, Yamilka Blanco-García², Yoalbys Retirado-Mediaceja²

¹Universidad de Guanajuato, México.

²Universidad de Moa, Holguín, Cuba.

Resumen:

Esta investigación propone seis soluciones analíticas para estimar el intercambio de energía por conducción transitoria en tuberías con condiciones de convección. Los modelos desarrollados fueron ajustados para un intervalo R₁/R_E desde 0,2 a 0,8 y números adimensionales de Fourier (Fo) y Biot (Bi), desde 0,05 a 50 y 0,005 a 50, respectivamente. En cada caso fueron computadas 352 distribuciones de temperaturas mediante el método aproximado de Heisler (MH) y los modelos exactos, con diferentes combinaciones de R₁/R_E ; Bi ; Fo. Para la comparación entre las soluciones analíticas y el MH fueron realizadas 2 112 pruebas, revelándose que el MH correlaciona con el método analítico con una desviación media de ±10% para el 70,4 % y de ±20 % para el 90,1 % de las combinaciones R₁/R_E ; Bi ; Fo examinadas. El mejor ajuste se encuentra para el Caso 5, con una desviación media de ±10 % para el 80,3 % y ±20 % para el 91,8 % de los datos utilizados, mientras el peor ajuste se detecta en el Caso 2 con una desviación media de ±10 % y ±20 % para el 66,7 % y 87,4 % de los datos, respectivamente.

Palabras clave: conducción transitoria; funciones de Bessel; temperatura adimensional

Abstract:

This research proposes six analytical solutions to estimate transient conduction energy exchange in pipelines with convective conditions. The models developed were adjusted for an R₁/R_E range from 0.2 to 0.8 and dimensionless Fourier (Fo) and Biot (Bi) numbers, from 0.05 to 50 and 0.005 to 50 respectively. In each case, 352 temperature distributions were computed by approximate Heisler method (MH) and exact models, with different combinations of R₁/R_E ; Bi ; Fo. For comparing the MH and analytical solutions, 2.112 tests were carried out, showing that MH correlates with the analytical method with an average deviation of ±10% for 70.4% and ±20% for 90.1% of the combinations R₁/R_E ; Bi ; Fo examined. The best fit was for Case 5, with an average deviation of ±10 % for 80.3 % and ±20 % for 91.8 % of the data used, while the worst fit detected was in Case 2, with average deviation of ±10% and ±20% for 66.7% and 87.4% of the data, respectively.

1.INTRODUCCIÓN

En todo proceso de transferencia de calor debe transcurrir un tiempo para que el intercambio térmico sea estacionario. Al inicio del proceso de calentamiento o enfriamiento, el intercambio de energía será dependiente del tiempo, por ende, es un proceso no estacionario. Un análisis de rigor en un proceso no estacionario requiere considerar los cambios de energía interna del cuerpo con el tiempo, por tanto, el tratamiento matemático requerido muestra una complejidad mayor (Zhang y Zheng, 2023; Zhuo, 2021).

El estudio y análisis de procesos transitorios de calor tienen una gran importancia para diversos campos de ingeniería práctica, fundamentalmente por la cantidad de procesos industriales que requieren del enfriamiento y calentamiento de cuerpos e instalaciones. En muchos procesos de amplio uso en la ingeniería, los cambios de temperaturas en la instalación o objetos de estudio son dependientes del tiempo, entre los más difundidos están los tratamientos térmicos de elementos de máquinas o el enfriamiento de los refractarios de hornos (Zhang et al. 2022; Zhang et al. 2023; Zhang et al. 2024).

En los procesos estacionarios la temperatura generalmente permanece constante, sin embargo, durante la transferencia de calor no estacionaria las temperaturas experimentan cambios apreciables, lo cual es debido al incremento o decremento de la energía interna. Por esta razón, la experimentación de transitorios resulta ser extremadamente costosa (Wu et al., 2021; Xu et al., 2022)

En la actualidad, el perfeccionamiento de las técnicas de cómputo ha permitido el tratamiento analítico de procesos transitorios mediante la simulación de sistemas por computadora, desatancándose la implementación del método de elementos finitos (MEF) o el método de elementos de contorno (MEC) al intercambio de calor por conducción no estacionaria en configuraciones tridimensionales (3-D). Con un análisis de este tipo se ha logrado predecir los coeficientes de transmisión de calor y simular múltiples aplicaciones industriales sin tener que acudir a la experimentación (Yang et al., 2021; Yu et al., 2021; Nicholas et al., 2023).

Hoy en día se ha difundido el uso de las relaciones/gráficos de Heisler en la evaluación de los transitorios en cuerpos con configuración cilíndrica, extendiendo su uso a tubos, cilindros a presión y otros. Sin embargo, esto se constituye en una limitante importante, pues las condiciones de contorno del problema de Heisler se refieren a superficies cilíndricas sólidas, con convección únicamente por la superficie externa. Por tanto, es de esperar que los resultados obtenidos sean aproximados y en muchas ocasiones los errores computados alcanzan valores de , pudiendo ser mayores aún, sobre todo en tubos de paredes delgadas y longitudes reducidas  (Tourn et al., 2021; Tan et al., 2022; Tong et al., 2024).

La complejidad matemática de los procesos transitorios de calor es un inconveniente en la actualidad para el desarrollo e implementación de una solución analítica para evaluar la conducción no estacionaria del calor en tuberías. Un estudio analítico de rigor requiere de un refinamiento matemático más allá del adquirido en una formación básica ingenieril, como ortogonalidad, valores propios, transformadas de Fourier y de Laplace, funciones de Bessel y de Neumann, series infinitas múltiples e integrales indefinidas de orden superior (Tsega, 2022; Wu et al., 2021; Wang et al., 2023).

Una solución analítica de la conducción no estacionaria del calor, con frecuencia comprende sumas dobles o triples de series infinitas en un punto específico, convirtiéndose en un reto matemático que de no poseer un sólido dominio de las bases del análisis funcional sería una tarea imposible de realizar, por lo tanto, incluso cuando se disponen de soluciones puntuales en algunos manuales, son suficientemente intimidantes como para ahuyentar o desalentar a los usuarios en perspectiva o novicios. Esta es la razón fundamental de la ausencia de la literatura especializada de soluciones analíticas para computar los transitorios de calor en tuberías (Camaraza-Medina et al., 2020; Zhou et al., 2023).

A partir de lo expuesto con anterioridad, el objetivo de este trabajo es desarrollar un método analítico que permita estimar el intercambio de energía por conducción no estacionaria en tuberías, comparando posteriormente los resultados obtenidos usando el MH y los computados mediante la solución analítica propuesta, para establecer los niveles de correlación y dispersión del método aproximado con respecto a las soluciones analíticas del problema analizado.

Para establecer comparaciones con respecto a los valores computados mediante el método aproximado de Heisler, fueron establecidos seis casos básicos, en función del criterio de la longitud equivalente  y las condiciones de convección. Para cada caso fueron calculadas las soluciones analíticas y aproximadas de 352 ejemplos, utilizando valores diversos de , en el rango ,  y .

2.BASES MATEMÁTICAS DEL PROBLEMA DE CONDUCCIÓN TRANSITORIA DEL CALOR

2.1. Longitud equivalente

La longitud equivalente es un criterio muy usado en la evaluación de la transferencia de calor por conducción transitoria, siendo definido de esta manera el carácter unidimensional o tridimensional (3-D) del problema. Para establecer el criterio de longitud equivalente es requerido definir la longitud del cilindro  y su diámetro , estableciendo un cociente entre ambos en la forma  (Can y Keles, 2023).

Cuando se cumple que , entonces se considera el cilindro como finito, y es requerido considerar el intercambio de energía tanto en la direcciones axial y radial, por tanto, el proceso de transferencia de calor es en 3-D, siendo requerido el uso del criterio de superposición, evaluando la distribución adimensional de temperaturas para el cilindro infinito y la intersección de una placa infinita con un espesor igual a la longitud  (Gao y Nie, 2021; Cetin et al., 2021; Chen et al., 2023).

Cuando se cumple que  se considera el cilindro como infinito, y solamente es considerado el intercambio de energía en sentido radial, por tanto, se está en presencia de un proceso de transferencia de calor unidimensional. Esto es lógico, porque cuando una de las dimensiones resulta ser mucho mayor que las restantes, entonces la cantidad de energía transferida en dirección a ese eje ordenado es pequeña en comparación con los restantes, por esta razón, en la ingeniería práctica su efecto es despreciado (Gün y Feng, 2023; Gawronska et al., 2023).

2.2. Consideraciones matemáticas introductorias

Para establecer el modelo se asume que la temperatura inicial es uniforme y que las propiedades termofísicas son constantes. Otra consideración tenida en cuenta es la ausencia de fuentes internas de calor y que existe simetría térmica con respecto al plano medio. Se supone adicionalmente que el coeficiente medio de transferencia de calor por convección es constante y uniforme (Figura 1). La Ecuación (1) de conducción del calor (Polyanin y Nazaikinskii, 2022) viene dada por:

Donde: es el coeficiente de distribución adimensional de temperaturas. , ,  son las temperaturas medias del cilindro, del medio convectivo y de la sección analizada, respectivamente, en .  es el coeficiente medio de transferencia de calor, en   es la conductividad térmica de la pared del cilindro, .  es la intensidad de la fuente interna de calor (en caso de existir, en caso contrario ).

Figura 1. Elemento diferencial de volumen en coordenadas cilíndricas.

La solución de la ecuación de calor en configuraciones cilíndricas requiere el uso de las funciones de Bessel de primera especie, órdenes cero  y uno ; respectivamente, las cuales son obtenidas mediante el siguiente desarrollo en series, reflejado en las Ecuaciones (2) y (3) (Peng y Cheng, 2020; Azis et al., 2023):

En las Ecuaciones (2) y (3) la variable , son valores enteros. Las funciones de Bessel de segunda especie, órdenes cero y uno  vienen dadas por la Ecuación (4) (Ji et al., 2023; Jin et al., 2022):

En la Tabla 1 son resumidos los valores de  para distintos valores de .

Tabla 1. Valores de las funciones de Bessel  para distintos valores de

Las funciones modificadas de Neumann de primera especie y orden cero y uno vienen dadas por las ecuaciones (5) y (6) (Hua et al., 2018; Huang et al., 2023):

Donde:  son las derivadas de las funciones de Bessel de primera y segunda especie, orden cero.

Los valores de  y  son obtenidos mediante la relación de recurrencia, obteniendo (7) y (8):

2.3. Solución aproximada de Heisler (MH)

En un cilindro infinito la distribución adimensional de temperaturas puede ser expresada mediante una función (9): :

Donde: es el número adimensional de Fourier,  es el eigenvalor o raíz característica.

En la Ecuación (9) se establecen las siguientes condiciones de contorno (10) y (11):

Usando las relaciones de recurrencia la derivada de la función  es expresada mediante la siguiente relación (12):

Para computar los eigenvalores  se sustituye la Ecuación (11) en la Ecuación (12) y se obtiene (13):

Donde:  es el coeficiente medio de transfrerencia de calor,   es la conductividad térmica de la pared del cilindro, .  es el número adimensional de Biot.

La Ecuación (13) es de tipo transcendente, por lo cual es requerido resolverla numéricamente. Se aprecia que existen  valores de  que satisfacen la Ecuación (13), por lo tanto, la distribución de temperaturas debe ser expresada en forma de una serie infinita, quedando (14):

Sustituyendo la Ecuación (9) en la Ecuación (14) resulta (15):

Para que se cumpla la Ecuación (15) es necesario que las funciones , formen un agrupamiento ortogonal en el intervalo , por tanto (16):

La serie infinita dada en la Ecuación (15) es integrable y convergente, por tanto (17):

Por definición de ortogonalidad, en la Ecuación (17) se cumple que (18):

Despejando la constante en la Ecuación (19), integrando y sustituyendo posteriormente en la Ecuación (15):

En la Ecuación (19), los eigenvalores  vienen dados por la Ecuación (13). Si fuese considerada la intensidad de una fuente interna de calor , la Ecuación (19) se transforma a la siguiente relación (20):

La Ecuación (20) es válida para cilindros sólidos e infinitos, sin fuentes internas de calor. En ingeniería la Ecuación (20) es extendida a la evaluación de transitorios de calor por conducción en tuberías, suponiendo que el flujo de calor por convección en el interior es equivalente a una fuente interna de calor, siendo determinada la intensidad de la fuente aplicando la siguiente relación (21):

Donde:  son los radios externo e interno del tubo, en m. es la longitud del tubo, en m. ,  son las temperaturas medias del fluido a la entrada y salida del tubo, respectivamente, en .  es la temperatura media de la pared del tubo al inicio del proceso de intercambio de energía, en .

En los tubos que cumplan la condición , la Ecuación (20) es modificada (22) para considerar el efecto del intercambio de energía en sentido axial:

Donde:  es la distancia en sentido axial entre la sección evaluada y el origen de coordenadas, en m.  es la longitud en sentido axial, en m.

En la Ecuación (22), los eigenvalores  vienen dados por (23):

Las Ecuaciones (20) y (22) son válidas solo para un cilindro sometido a convección por la superficie externa, sin embargo, en un tubo la convección puede ocurrir simultáneamente en ambas superficies, o de forma individual por las superficies internas o internas. Además, la posibilidad de presencia de aislamiento térmico en la tubería complejiza el problema, pues el aislamiento debe ser considerado como un plano adiabático o de simetría térmica. Por tanto, el uso de las Ecuaciones (20) y (22) para computar la transferencia de calor por conducción no estacionaria en tuberías puede arrojar valores con una dispersión de .

2.4. Desarrollo de las soluciones exactas

2.4.1 Definición de los casos

En la evaluación de transitorios de calor en tuberías con condiciones de contorno de convección es posible definir seis casos básicos, utilizado para este propósito el criterio de longitud equivalente. Los casos son:

Caso 1: Tubo infinito, convección por dentro y aislado térmicamente por fuera.

Caso 2: Tubo infinito, convección por fuera y aislado por dentro.

Caso 3: Tubo infinito, convección por dentro y por fuera simultáneamente.

Caso 4: Tubo finito, convección por dentro y aislado térmicamente por fuera.

Caso 5: Tubo finito, convección por fuera y aislado por dentro.

Caso 6: Tubo finito, convección por dentro y por fuera simultáneamente.

En la Figura 2 son mostradas las notaciones usadas para las configuraciones geométricas y las condiciones de contorno correspondientes a los casos del 1 al 6.

Caso 1

La distribución adimensional de temperaturas para el Caso 1 viene dada por (24):

Donde:  es la función de distribución adimensional de temperaturas.

En la Ecuación (24) se aplican las siguientes condiciones de contorno para

Figura 2. Notaciones usadas para las configuraciones geométricas y las condiciones de contorno correspondientes a los casos del 1 al 6.

En la Ecuación (24) el valor de la constante  se determina mediante las condiciones de contorno dadas en la Ecuación (25), mientras que los eigenvalores  vienen dados por (26):

Los valores de la función  usada en la Ecuación (24) pueden ser obtenidos mediante la siguiente relación (27):

En la Ecuación (27) los valores de  y  son obtenidos mediante las ecuaciones (1) y (5), respectivamente.

Caso 2

La distribución adimensional de temperaturas para este Caso viene dada por (28):

En la Ecuación (28) se aplican las siguientes condiciones de contorno (29) para  

En la Ecuación (28) el valor de la constante  se determina mediante las condiciones de contorno dadas en la Ecuación (29), mientras que los eigenvalores  vienen dados por (30):

En la Ecuación (28), las funciones  y  son computadas usando las Ecuaciones (27) y (5), respectivamente, mientras que los eigenvalores vienen dados por (31):

Caso 3

La distribución adimensional de temperaturas para el Caso 3 viene dada por (32):

En la Ecuación (32) se aplican las siguientes condiciones de contorno (33) para

En la Ecuación (32) el valor de las constantes  y  se determinan mediante las condiciones de contorno dadas en la Ecuación (33), mientras que los eigenvalores  vienen dados por (34):

En la Ecuación (32) la función  es computada mediante la Ecuación (27), usando  en lugar de . Los valores de  son obtenidos mediante la Ecuación (6).

Caso 4

La distribución adimensional de temperaturas para el Caso 4 viene dada por (35):

En la Ecuación (35) se aplican las siguientes condiciones de contorno (36) para

El valor de la constante  en la Ecuación (35) se determina mediante las condiciones de contorno dadas en la Ecuación (36), las funciones  y  son computadas usando las Ecuaciones (27) y (5), respectivamente, mientras que los eigenvalores ,  y  vienen dados por (37) y (38):

Donde: es la longitud del tubo, en .

Caso 5

La distribución adimensional de temperaturas para el Caso 5 viene dada por (39):

En la Ecuación (39) se aplican las siguientes condiciones de contorno (40) para

El valor de la constante  en la Ecuación (39) se determina mediante las condiciones de contorno dadas en la Ecuación (40), las funciones  y  son computadas usando las Ecuaciones (27) y (5), respectivamente, los eigenvalores  y  son obtenidos mediante la Ecuación (38), mientras que el eigenvalor  viene dados por (41):

Caso 6

La distribución adimensional de temperaturas para el Caso 6 viene dada por (42):

En la Ecuación (42) se aplican las siguientes condiciones de contorno (43) para

En la Ecuación (42) el valor de las constantes  y  se determinan mediante las condiciones de contorno dadas en la Ecuación (43), la función  es computada mediante la Ecuación (27), usando  en lugar de . Los valores de  son obtenidos mediante la Ecuación (6). Los eigenvalores  y  son obtenidos mediante la Ecuación (38), mientras que el eigenvalor  viene dados por (44):

3.ANALISIS DE RESULTADOS

3.1. Comparación del MH con las soluciones exactas

La elevada complejidad matemática de las soluciones analíticas es la razón principal por la cual en la actualidad en la ingeniería práctica es preferido el uso del MH para estimar los valores  durante la conducción transitoria del calor en tuberías, sin embargo, su uso introduce una elevada dispersión en los resultados computados. En este trabajo se proporciona una comparación entre el MH y las soluciones exactas obtenidas para cada caso.

A pesar de la complejidad de las soluciones analíticas propuestas, para cada caso fue computada la distribución adimensional de temperaturas  correspondiente a 352 combinaciones de . Para la relación de diámetros  fueron usados cuatro valores (0,2 ; 0,4 ; 0,6 ; 0,8), para el número adimensional de se fijaron once valores (0,005 ; 0,01 ; 0,05 ; 0,1; 0,5 ; 1 ; 2 ; 5 ; 10 ; 25 ; 50), mientras que para el número adimensional de  fueron usados ocho valores (0,05 ; 0,1 ; 0,5 ; 1 ; 5 ; 10 ; 30 ; 50). Para la comparación en los casos del 1 al 3 se utilizaron las soluciones aproximadas obtenidas con la Ecuación (22), mientras que para los Casos 4 al 6 las aproximaciones fueron computadas mediante la Ecuación (19).

Para los casos del 1 al 3 el porcentaje de desviación (error) respecto a la solución analítica es obtenido mediante la relación (45):

Donde:  y  son las distribuciones adimensionales de temperaturas calculadas con la Ecuación (22) y del caso evaluado (1 - 3), respectivamente.

Para los Casos del 4 al 6 el porcentaje de desviación (error) respecto a la solución analítica es obtenido mediante la relación (46):

Donde:  y  son las distribuciones adimensionales de temperaturas calculadas con las Ecuación (19) y del caso evaluado (4-6), respectivamente.

En la Figura 3 se grafican los valores  para los casos 1, 2 y 3 -calculados mediante la Ecuación (45)- y en la Figura 4 los correspondientes a los casos 4, 5 y 6 -calculados mediante la Ecuación (46). En todos los casos los resultados fueron graficados en función de la combinación del producto , ajustado los resultados obtenidos en bandas de error de  y .

En la comparación realizada entre el MH y el método analítico desarrollado fueron realizadas 2 112 pruebas, detectando que el MH correlaciona con el método analítico con una desviación media de  y  para el 70,4 % y 90,1 %, respectivamente, de las combinaciones  examinadas.

Figura 3. Valores  calculados para los casos 1, 2 y 3.

Para el Caso 1 (Figura 3) fue detectada una desviación media de  y  para el 72,4 % y 88,1 % de los test examinados, respectivamente. El mejor ajuste individual fue encontrado para  con un error medio de  y  para el 92,6 % y 97,2 % de los datos correlacionados, respectivamente, mientras el peor ajuste fue computado para , con una desviación media de  para el 45,3 % y  para el 80,6 % de los test realizados.

Para el Caso 2 (Figura 3) fue computado un error medio de  y para el 66,7 % y 87,4 % de los datos utilizados, respectivamente. El mejor ajuste fue obtenido para con un error medio de  y para el 84,6 % y 92,3 % de los test realizados, respectivamente, mientras el peor ajuste fue encontrado para  con un error medio de  para el 44,6 % y  para el 83,1 % de los datos evaluados.

Para el Caso 3 (Figura 3) fue detectada una desviación media de  y para el 73,7 % y 92,9 % de los test evaluados, respectivamente. El mejor ajuste individual fue encontrado para  con un error medio de  y para el 91,8 % y 96,3 % de los datos correlacionados, respectivamente, mientras el peor ajuste fue computado para , con un error medio de  y  para el 47,1 % y 85,7 % de los test realizados, respectivamente.

Para el Caso 4 (Figura 4) fue computado un error medio de  y para el 76,1 % y 91,7 % de los datos utilizados, respectivamente. El mejor ajuste fue obtenido para  con un error medio de  y para el 89,3 % y 98,3 % de los test realizados, correspondientemente, mientras el peor ajuste fue encontrado para  con un error medio de  y para el 41,5 % y 76,2 % de los datos evaluados, respectivamente.

Para el Caso 5 (Figura 4) fue detectada una desviación media de  y para el 80,3 y 91,8% de los test examinados, respectivamente. El mejor ajuste individual fue encontrado para  con un error medio de  y para el 86,4 % y 95,2 % de los datos correlacionados, correspondientemente, mientras el peor ajuste fue computado para  con un error medio de  y para el 47,8 % y 83,5 % de los test realizados, respectivamente.

Para el Caso 6 (Figura 4) fue computado un error medio de  y para el 68,7 % y 92,4 % de los datos utilizados, respectivamente. El mejor ajuste fue obtenido para  con un error medio de  y  para el 87,2 % y 95,2 % de los test realizados, correspondientemente, mientras el peor ajuste fue encontrado para  con un error medio de  y para el 42,3 % y 78,1 % de los datos evaluados, respectivamente.

Figura 4. Valores  calculados para los casos 4, 5 y 6.

4.CONCLUSIONES

·         Se propone un método analítico para determinar el intercambio térmico no estacionario en tuberías. A partir de la comparación con las soluciones analíticas desarrolladas, se verifican los resultados obtenidos mediante el uso del MH.

·         En la comparación realizada entre el MH y el método analítico desarrollado se utilizan 2 112 pruebas, detectando que el MH correlaciona con el método analítico con una desviación media de  y  para el 70,4 % y 90,1 %, respectivamente, de las combinaciones  examinadas.

·      El mejor ajuste se encuentra para el Caso 5, con una desviación media de  y  para el 80,3 % y 91,8 % respectivamente, de los datos utilizados, mientras el peor ajuste se detecta en el Caso 2 con una desviación media de  para el 66,7 % y  para el 87,4 % de los datos utilizados.

·      El mejor ajuste individual se calcula en el Caso 1 para  con un error medio de  y  para el 92,6 % y 97,2 %, respectivamente, de los datos correlacionados. El peor ajuste individual se computa en el Caso 4 para  con un error medio de  para el 41,5 % y para el 76,2 % de los datos evaluados, respectivamente.

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Información adicional

Conflicto de intereses

Los autores declaran que no existen conflictos de intereses.

Contribución de autores

YCM: búsqueda bibliografía sobre la temática, concepción general y ejecución de la investigación, así como la escritura y revisión del informe final. YBG: análisis de los resultados, escritura y revisión del informe final. YRM: análisis de los resultados, escritura y revisión del informe final.

 

ORCID

YCM, https://orcid.org/0000-0003-2287-7519

YBG, https://orcid.org/0000-0001-5420-6627

YRM, https://orcid.org/0000-0002-5098-5675

 

 

Recibido: 24/07/2024

Aceptado:04/09/2024